1. Transformasi Linear
Misalkan V dan W adalah ruang Vektor, T : R2àR3 dinamakan transformasi linear apabila untuk setiap u,v ∈ R2 dan k ∈ W berlaku :
a.T(u+v) = T(u)+T(v)
b.T(ku) = kT(u)
Jika R2=R3 maka T dinamakan operator linear
Contoh :
2. Kernel dan Jangkauan
Misalkan T : R2àR3 merupakan transformasi linear, semua unsur di R2 yang dipetakan ke vektor nol di R3 dinamakan kernel T.
Contoh :
1. Dimensi
Dimensi berhingga adalah jika ruang vektor V mengandung sebuah himpunan berhingga vekor S={u1,u2,……,un} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai bayaknya vektor pada basis V.
*Teorema 1
Dimensi suatu ruang vektor berdimensi berhingga V, yang dituis dengan dim(V), didefinisikan sebagi jumlah vektor dalam suatu basis V. Ruang vektor nol berdimensi nol.
Contoh :
1. Misalkan A=(u,v,w) dengan u=[1,2,1],v=[2,9,0], dan w=[3,3,4]. A adalah basis untuk R3.
jawab :
Karena banyaknya vektor yang membentuk basis B adalah 3, maka R3 berdimensi 3.
2. Basis Ruang Baris
Sub ruang yang terdiri dari vektor-vektor baris.
Contoh Soal :
3. Basis Ruang Kolom
Sub ruang yang terdiri dari vektor-vektor kolom.
Contoh Soal :
4. Rank
Rank adalah basis ruang baris dari A didapatkan melalui OBE pada AT atau dimensi dari ruang baris dan ruang kolom dari suatu matriks. Dimensi ruang kolom suatu matriks sama dengan dimensi ruang barisnya. Rank matriks digunakan untuk menyatakan jumlah maksimum vektor baris atau kolom yag bebas linier. Matriks yang hanya mempunyai 2 baris jika baris yang satu kelipatan dari baris yang satu kelipatan dari yang lainnya, maka rank matriks=1.
Contoh :
5. Nulitas
Nulitas adalah Dimensi dari ruang nol atau ruang penyelesaian dari sistem persamaan Ax=0, yang merupakan suatu sub ruang dari Rn.
*Teorema 5.6.3(Teorema Dimensi Untuk Matriks)
"Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka rank(A)+nulitas(A)=n"
Contoh Soal :
